用《几何画板》制作解析几何课件辅助教学

——培元中学 郑英升

《几何画板》是一种计算机应用软件，一种十分适合中学数学教师使用的软件。

《几何画板》，顾名思义是“画板”，能画各种欧几里德几何图形；能画出解析几何中的所有二次曲线；也能画出任意一个函数的图象（给出表达式）。不仅如此，还能够对所有画出的图形、图象进行各种“变换”，如平移、旋转、缩放、反射等等。《几何画板》还提供了“测量”、“计算”等功能，能够对所作出的对象进行度量，如线段的长度、弧长、角度、面积等等，并可将度量结果显示在屏幕上。《几何画板》所作出的几何图形是动态的，并且能对动态的对象进行“跟踪”，还能显示该对象的“轨迹”，如点的轨迹、线的轨迹，形成曲线或包络；而且这种“跟踪”可以是人工的也可以是自动的。下面笔者就应用《几何画板》制作解析几何课件辅助教学谈谈自己的几点感受。

一、用《几何画板》帮助学生直观理解圆锥曲线的定义

解析几何中的圆锥曲线部分定义较多，仅曲线类型就有椭圆、双曲线、抛物线等，并且还有第一定义和第二定义（统一定义）,而教材仅在椭圆定义的引入上有一个教学试验，这显然给学生在直观理解定义上带来压力。基于此，我在这部分教学中，借助《几何画板》制作了三种曲线的第一定义的演示，使学生们直观地感受了曲线的形成过程，加深了印象。而在三种曲线的统一定义的教学中，我又不失时机地借助《几何画板》，在对三种曲线的形成过程作统一解释的基础上，加以归纳和比较，如下图，当您拖动点A时，离心率e会随之变化，当e取大于1、等于1、小于1时，双击“动画”按钮可分别得到双曲线、抛物线、椭圆三种不同曲线。使学生们不仅知道了事物的来龙去脉，还在理解中进行了归纳和记忆。

二、用《几何画板》帮助学生辨析概念

解析几何中有些概念容易混淆，需要辨析。椭圆的中心与椭圆上的点的连线为终边的角（x轴的正方向为始边）、“椭圆的离心角”是学生容易混淆的两个概念。《几何画板》能动态地显示这两角的关系。如下图，当您缓慢拖动主动点A绕着点O转动时，左上角显示出这两个角（当堂“测量”的）的大小都在改变。可以十分清楚地看出：在第一象限时，θ>∠XOM；当A拖动到y轴的正向时，θ=∠XOM=90^o;继续拖动θ<∠XOM(A在第二象限)；当A拖动到y轴的负向时，θ=∠XOM=180^o;不必继续，一个高二的学生自然知道：θ与∠XOM有四次“相等”，其他都不等；可以用椭圆离心角的范围来表示椭圆弧。

三、用《几何画板》，使轨迹问题的教学变抽象为形象

在轨迹问题的教学中，传统的教学，认识轨迹形状是通过方程的形式，这当然也很有必要，但是学生并没有真正看到“轨迹”，有时并不令人信服。一次，一位学生请教这样一个问题：已知点P在直线x=2上移动，直线l通过原点且与OP垂直，通过点A(1,0)及点P的直线m和直线l交于点Q,求点Q轨迹方程。笔者解决完该问题时发现所求轨迹是椭圆（除去一点），而这位学生却怎么也不相信“这会是真的”。过后，我通过《几何画板》演示给他看，使他发现该结果“果然是真的”。经过这件事，这位学生大大激发了学习解析几何的兴趣，并且还主动拷贝《几何画板》回家，从此《几何画板》挤占了他的“游戏时间”。我也从那时起注意对轨迹问题的制作，并在讲授“求轨迹方程的常用方法”时得到了很好的运用。

四、用《几何画板》解释轨迹方程的完备性

来看这样一个例子：“如下图，已知圆x²+y²=4上有一定点A(2,0),B、C是圆上两个动点，O为坐标原点，保持A、B、C在圆上按逆时针方向排列，且∠BAC=,求△ABC的重心G的轨迹方程。”通常，在解本例时，可设∠BOA=θ,则∠COA=120^o+θ,这样就可分别写出B、C两点的坐标：B（2Cosθ,2Sinθ）,C(2Cos(120^o+θ),2Sin(120^o+θ)),再由重心坐标公式可得G点的坐标（含参数θ），消去参数θ后即可得重心G的轨迹方程。很多学生都能顺利得到结果：，但该结果却不能满足曲线与方程之间的完备性，为什么呢？事实上，参数θ应满足：0^o<θ<240^o,因此，所求轨迹方程应是，，即圆的一部分。笔者在讲解本例时，先肯定学生的思路，让学生觉得很有成就感，突然——在使用《几何画板》观察结果时——惊讶地发现演示结果并不是整个圆时，在学生们“全呆了”的情形下，借助《几何画板》，引导学生去发现问题，并解决了问题。通过本例的实践，学生们对“参数的范围”印象深刻，避免了此后同样错误的再次出现。